Можно ли получить возмещение по КАСКО после падения на автомобиль дерева, если происшествие не зафиксировано в компетентных органах?

Возможность возмещения ущерба в рамках договора КАСКО в Вашем случае обусловлена исключительно условиями правил страхования  той компании, где Вы оформили страховку. Однако можно указать на некоторые моменты, общие для большинства российских страховщиков.
Обычно страховые компании разрешают передвигать застрахованный транспорт, чтобы избежать дальнейшего его повреждения, но только после устного или письменного согласования такого действия с представителем страховщика. В дальнейшем требуется предоставление справки из компетентных органов, содержащей описание происшествия.
При отсутствии такой справки Вы, скорее всего, не сможете доказать, что к повреждению автомобиля привело событие, входящее в перечень страховых рисков по договору КАСКО.
Отличным выходом из сложившейся ситуации может оказаться возможность обращения за выплатой без предоставления справок из компетентных органов. Если условиями Вашего договора КАСКО предусмотрена такая возможность, то Вы сможете полностью либо хотя бы частично компенсировать понесённые убытки.